翻车笔记_ Rivendell 学长的线段树杂题 [线段树, 清奇脑回路]

寒假的时候讲的 现在才开始补…惭愧啊

BZOJ 3333: 排队计划

我们发现, 你抽出后面的数排序后, [取出来的数之间]就没有逆序对了

然后我们又发现, 因为没取出来的都比取出来的数要大, 所以实际上原来 [取出来和没取出的数之间] 构成逆序对的地方现在还是逆序对, 之前后面比前面小的地方, 现在后面还是比前面小; 也就是[取出来的数和没取出来的数之间]的逆序对数量不变


我们考虑用树状数组找逆序对的过程: 找后面所有比他小的数的个数(或者前面比他大的数, 无所谓)的和

我们发现, 如果这个数被取出来了, 他后面就没有比他小的数了(排序后取出来的数比他大的一定在他后面, 没取出来的数比$a_p$都大, 肯定比取出来的所有数大)

我们计一个数$i$后面比他小的数的个数为$nxd_i$

那么我们只需要在他选出来的$p$后面, 取出所有比他小的数$i$, 然后在答案里减去$nxd_i$就行了

具体实现的话, 为了去重我们要把已经取出来的数都设为$\infty$, 防止被多次取出(因为已经排过序了)


所以代码的实现就是:

  • 初始答案为整个序列的逆序对个数$ans$
  • 不断的在$p$的后面找比$p$小的数$i$(用线段树), 把$i$设成$\infty$, $ans = ans - nxd_i$, 直到$p$后面的数都比$a_p$大, 输出$ans$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
/**************************************************************
Problem: 3333
User: Cansult
Language: C++
Result: Accepted
Time:8792 ms
Memory:42236 kb
****************************************************************/

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define MAXN (500000 + 5)
#define MAXM (500000 + 5)
#define INF (0x7fffffff)
#define lowbit(i) ((i) & (-(i)))
#define LS(dq) ((dq) << 1)
#define RS(dq) (((dq) << 1) | 1)
#define LL long long
using namespace std;
struct node
{
int le, ri, minz, minwz;
}b[MAXN << 2];
struct bitnode
{
int b[MAXN], n;
void xg(int wz)
{
for (int i = wz; i <= n; i += lowbit(i))
++b[i];
}
int cx(int le, int ri)
{
int re = 0;
for (int i = ri; i; i -= lowbit(i))
re += b[i];
for (int i = le - 1; i; i -= lowbit(i))
re -= b[i];
return re;
}
void init(int* a, int xn, LL* ans)
{
n = xn;
int sora[MAXN];
for (int i = 1; i <= n; i++)
sora[i] = a[i];
sort(sora + 1, sora + n + 1);
sora[0] = unique(sora + 1, sora + n + 1) - sora - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = lower_bound(sora + 1, sora + sora[0] + 1, a[i]) - sora;
for (int i = n; i >= 1; i--)
ans[i] = cx(1, a[i] - 1), xg(a[i]);
}
};
int n, m, a[MAXN];
LL xd[MAXN];
void init()
{
bitnode qwq;
qwq.init(a, n, xd);
}
node push_up(node ls, node rs)
{
node re;
re.le = ls.le, re.ri = rs.ri;
if (ls.minz < rs.minz)
re.minz = ls.minz, re.minwz = ls.minwz;
else
re.minz = rs.minz, re.minwz = rs.minwz;
return re;
}
void js(int dq, int le, int ri)
{
if (le == ri)
{
b[dq].le = le, b[dq].ri = ri;
b[dq].minz = a[le];
b[dq].minwz = le;
return ;
}
int mi = (le + ri) >> 1;
js(LS(dq), le, mi);
js(RS(dq), mi + 1, ri);
b[dq] = push_up(b[LS(dq)], b[RS(dq)]);
}
void xg(int dq, int wz, int zh)
{
if (b[dq].le == b[dq].ri)
{
b[dq].minz = zh;
return ;
}
int mi = (b[dq].le + b[dq].ri) >> 1;
if (wz <= mi)
xg(LS(dq), wz, zh);
else
xg(RS(dq), wz, zh);
b[dq] = push_up(b[LS(dq)], b[RS(dq)]);
}
node cx(int dq, int le, int ri)
{
if (b[dq].le == le && b[dq].ri == ri)
return b[dq];
int mi = (b[dq].le + b[dq].ri) >> 1;
if (ri <= mi)
return cx(LS(dq), le, ri);
else if (le > mi)
return cx(RS(dq), le, ri);
else
return push_up(cx(LS(dq), le, mi), cx(RS(dq), mi + 1, ri));
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
init();
js(1, 1, n);
LL dans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
dans += xd[i];
printf("%lld\n", dans);
for (int i = 1, srp; i <= m; i++)
{
scanf("%d", &srp);
while (1)
{
node qwq = cx(1, srp, n);
if (qwq.minz > a[srp])
break;
xg(1, qwq.minwz, INF);
dans -= xd[qwq.minwz];
}
printf("%lld\n", dans);
}
return 0;
}

Codechef FRBSUM && [Fjoi 2016]神秘数

这题好神啊qwq

首先我们要知道一个显而易见的结论:

我们给要求的区间排序, 如果前$i$个数的神秘数为$ans_i$, 那么:

  1. $a_{i+ 1} \le ans_i \to ans_{i + 1} = ans_i + a_{i + 1}$: 考虑把$a_i$放在”底下”(或者说放在”前面”)
  2. $a_{i + 1} > ans_i \to ans_{\text{整个区间}} = ans_i$: 考虑如果这个数自己就超过了$ans_i$, 那么之后的整个区间都不可能有数能到达$ans_i$了

想一想是不是这样的


那么, 我们就可以这样

  • 先设一个$ans = 1$(因为$0$肯定能凑出来), 然后开始循环:
  • 在主席树中查找给定区间里所有不大于$ans$的数的和1, 记作$qwq$
  • 如果$qwq$小于$ans$, 那么直接输出现在的$ans$: 因为所有不大于$ans$的数加起来都不能凑出$ans$, 而加入大于$ans$的数肯定也不可能正好是$ans$, 也就是这个区间里不可能凑出$ans$
  • 如果$qwq$大于$ans$, 那么$ans = qwq + 1$: 考虑上面的结论, 我们加入的数(其实就是第一个结论, 但是一次加了多个数)都没有超过$ans$, 所以我们可以扩大$ans$到$ans + a_x + a_y + \cdots = qwq + 1$

感性理解一下就是:

在上一轮循环, 我们用了一些$a$, 得到了一个$ans$
在这一轮循环里, 我们加入了一些$a$, 这些$a$都满足上面的第一个结论, 每一个$a_x$都可以让$ans$变成$ans + a_x$
我们一次加了好多的$a$, 每一个$a$都符合要求, 所以我们可以让$ans$扩大$\sum \text{所有被加进来(也就是比$ans$小的)}a$, 而之前的$ans$就是前面几轮中被加入的$a$, 所以新的$ans$就是所有比$ans$小的数的和了

因为如果要继续循环的话, $ans$一定比上一个$ans$的两倍还要大, 所以复杂度是$\mathrm O(n\lg ^2n)$的

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
/**************************************************************
Problem: 4408
User: Cansult
Language: C++
Result: Accepted
Time:2540 ms
Memory:64968 kb
****************************************************************/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define MAXN (100000 + 5)
#define INF (0x7fffffff)
using namespace std;
struct node
{
int zh, ls, rs, le, ri;
}b[MAXN << 5];
int n, m, a[MAXN], sora[MAXN], cntb, root[MAXN];
void xg(int pre, int& dq, int le, int ri, int zh, int tz)
{
dq = ++cntb;
b[dq].le = le, b[dq].ri = ri;
if (le == ri)
{
b[dq].zh = b[pre].zh + tz;
return ;
}
int mi = (le + ri) >> 1;
if (zh <= mi)
xg(b[pre].ls, b[dq].ls, le, mi, zh, tz), b[dq].rs = b[pre].rs;
else
xg(b[pre].rs, b[dq].rs, mi + 1, ri, zh, tz), b[dq].ls = b[pre].ls;
b[dq].zh = b[b[dq].ls].zh + b[b[dq].rs].zh;
}
int cx(int ler, int rir, int le, int ri)
{
if (!rir)
return 0;
if (b[rir].le == le && b[rir].ri == ri)
return b[rir].zh - b[ler].zh;
int mi = (b[rir].le + b[rir].ri) >> 1;
if (ri <= mi)
return cx(b[ler].ls, b[rir].ls, le, ri);
else if (le > mi)
return cx(b[ler].rs, b[rir].rs, le, ri);
else
return cx(b[ler].ls, b[rir].ls, le, mi) + cx(b[ler].rs, b[rir].rs, mi + 1, ri);
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]), sora[i] = a[i];
sort(sora + 1, sora + n + 1);
sora[0] = unique(sora + 1, sora + n + 1) - sora - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = lower_bound(sora + 1, sora + sora[0] + 1, a[i]) - sora,
xg(root[i - 1], root[i], 1, sora[sora[0]], a[i], sora[a[i]]);
scanf("%d", &m);
for (int i = 1, srl, srr; i <= m; i++)
{
scanf("%d%d", &srl, &srr);
int ans = 1;
while (true)
{
int tans = upper_bound(sora + 1, sora + sora[0] + 1, ans) - sora - 1, qwq = cx(root[srl - 1], root[srr], 1, tans);
if (qwq < ans)
break;
ans = qwq + 1;
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}

By Cansult


  1. 1.其实就是在插入一个数的时候, 不是b[dq].zh = b[pre].zh + 1, 而是b[dq].zh = b[pre].zh + zh